1.1 数据结构的基本概念

数据、数据元素、数据结构三要素——建立贯穿整门课程的概念框架。

从一张成绩表说起

假设你要用程序管理全班同学的考试成绩：

这张表就是一份数据。我们关心的问题是：

1. 这些记录之间是什么关系？（按学号排好序？还是谁和谁是同组？）
2. 在内存里怎样存放它们？（连续地放在数组里？还是用指针串起来？）
3. 要对它做什么？（按学号查找、插入新同学、按成绩排序……）

这三个问题，恰好对应数据结构的三要素。整门课程，都是在回答这三个问题。

基本术语

它们的包含关系可以用一张图概括：

数据类型与抽象数据类型

数据类型是一个值的集合和定义在此集合上的一组操作的总称，分为：

• 原子类型：值不可再分，如 int、char；
• 结构类型：值可以再分解为若干成分，如 struct、数组；
• 抽象数据类型（Abstract Data Type，ADT）：一个数学模型及定义在该模型上的一组操作。

ADT 只关心”是什么、能做什么”，不关心”怎么存、怎么做”。用 ADT 可以完整地描述一个数据结构：只需给出数据对象、数据关系和基本操作集。

ADT List {
    数据对象: D = { a_i | a_i ∈ ElemSet, i = 1, 2, ..., n, n ≥ 0 }
    数据关系: R = { <a_{i-1}, a_i> | a_{i-1}, a_i ∈ D, i = 2, ..., n }
    基本操作: InitList(&L); ListInsert(&L, i, e); ListDelete(&L, i, &e); ...
}

三要素之一：逻辑结构

逻辑结构是指数据元素之间的逻辑关系，与数据如何存储无关，是从具体问题中抽象出来的数学模型。

后三者常进一步归类为：线性结构（线性表、栈、队列、串、数组）与非线性结构（集合、树、图）。

三要素之二：存储结构

存储结构（物理结构）是数据结构在计算机中的表示（映像），包括数据元素的表示和关系的表示。它依赖于计算机语言。主要有四种：

1. 顺序存储：逻辑上相邻的元素存储在物理位置上也相邻的存储单元中。
   • 优点：可随机存取，每个元素占用最少的存储空间。
   • 缺点：只能使用相邻的一整块存储单元，插入删除需移动大量元素，可能产生较多外部碎片。
2. 链式存储：不要求物理位置相邻，借助指示元素存储地址的指针表示元素间的逻辑关系。
   • 优点：不会出现碎片，能充分利用存储单元。
   • 缺点：指针额外占用空间，只能顺序存取。
3. 索引存储：在存储元素信息的同时建立附加的索引表，索引项一般形式为（关键字，地址）。
   • 优点：检索速度快。缺点：索引表额外占空间，增删数据要修改索引表。
4. 散列存储（哈希存储）：根据元素的关键字直接计算出存储地址。
   • 优点：检索、增加、删除都很快。缺点：散列函数不好时会出现冲突，解决冲突增加时间和空间开销。

三要素之三：数据的运算

施加在数据上的运算包括运算的定义和实现：

• 运算的定义针对逻辑结构，指出运算的功能（例如”在第 i 个位置插入”）；
• 运算的实现针对存储结构，指出运算的具体操作步骤（顺序表要移动元素，链表要修改指针）。

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