2.4 定点数的运算

算术移位、逻辑移位与循环移位，补码加减运算与溢出判断，标志位 OF/SF/ZF/CF，原码一位乘法、Booth 算法与除法的基本原理。

移位运算

算术移位时空位的添补规则：

补码加减运算

补码加减运算的规则简单，可以把符号位与数值位一起处理：

硬件实现时，减法通过”被减数 + 减数按位取反 + 1”完成：加法器的第二个输入经过一组可控反相器，同时令最低位进位输入 $C_\text{in} = 1$。因此一个 n 位加法器就能完成补码加法和减法，以及无符号数的加法和减法。

溢出判断

仅当两个符号相同的数相加（或两个符号相异的数相减）时才可能产生溢出：

1. 一位符号位：$V = A_s B_s \overline{S_s} + \overline{A_s}\,\overline{B_s} S_s$（两正得负或两负得正）；
2. 双符号位（变形补码，模 4 补码）：运算结果的两个符号位 $S_{s1} S_{s2}$ 为 00 表示正数无溢出，11 表示负数无溢出，01 表示正溢出，10 表示负溢出。即 $V = S_{s1} \oplus S_{s2}$。双符号位的补码在存储时只存一个符号位，只在运算时才扩展；
3. 进位判断：$V = C_s \oplus C_1$，其中 $C_s$ 为符号位产生的进位，$C_1$ 为最高数值位产生的进位（即最高位进位与次高位进位的异或）。

标志位

加法器运算后会生成以下标志位，存放在程序状态字（PSW / FLAGS）中：

乘法运算

原码一位乘法

原码一位乘法的特点是符号位与数值位分开求：乘积的符号为两数符号的异或，数值部分是两个数的绝对值相乘。手工乘法中”列竖式、错位相加”在机器中改为：每次根据乘数的最低位决定部分积加被乘数还是加 0，然后部分积右移一位。

1// 原码一位乘法（数值部分）
2for (i = 1; i <= n; i++) {
3    if (MQ 的最低位 == 1)
4        C,ACC = ACC + X;      // 部分积加上被乘数
5    逻辑右移(C, ACC, MQ);      // 部分积与乘数一起右移
6}
7// 乘积符号 = xs XOR ys
8// 乘积 = ACC MQ（共 2n 位）

补码一位乘法（Booth 算法）

补码一位乘法中符号位与数值位一起参与运算。设 $[x]_\text{补}$、$[y]_\text{补}$，乘数 $[y]_\text{补}$ 的最低位后增加一位附加位 $y_{n+1} = 0$，每次根据 $y_n y_{n+1}$ 两位决定操作：

共进行 $n + 1$ 次累加、$n$ 次右移（最后一次不移位）。部分积与被乘数采用双符号位。

1// 补码一位乘法（Booth 算法）
2for (i = 1; i <= n + 1; i++) {
3    if (yn y(n+1) == 01) ACC = ACC + [x]补;
4    else if (yn y(n+1) == 10) ACC = ACC + [-x]补;
5    // 00 或 11：加 0
6    if (i <= n) 算术右移(ACC, MQ, y(n+1));
7}
8// 第 n+1 步只加不移位
9// [x*y]补 = ACC MQ（去掉附加位）

除法运算

除法的基本思想与手工除法类似：从被除数中不断减去除数，根据余数的正负上商 1 或 0。

• 原码恢复余数法：若余数为负，上商 0，并需要加回除数恢复余数后再左移；
• 原码不恢复余数法（加减交替法）：若余数 $R_i > 0$，上商 1，下一步 $2R_i - |y|$；若 $R_i < 0$，上商 0，下一步 $2R_i + |y|$。$n$ 位数值部分共上商 $n + 1$ 次（第一次商判断溢出），左移 $n$ 次；若最后余数为负，需加 $|y|$ 恢复余数；
• 补码加减交替法：符号位参与运算；被除数与除数同号则做减法，异号则做加法；余数与除数同号上商 1，异号上商 0。

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