2.5 浮点数的表示与运算

浮点数的格式、规格化与表示范围，IEEE 754 单精度与双精度标准，浮点加减运算的五个步骤，以及 C 语言中的类型转换。

浮点数的表示

定点数可表示的数字范围有限，但我们不能无限制地增加数据的长度。浮点数把数的范围和精度分别表示：

其中 $S$ 为符号，$M$ 为尾数（定点小数，决定精度），$E$ 为阶码（定点整数，决定范围），$R$ 为基数（通常为 2）。

• 阶码的位数反映了浮点数的表示范围，阶码的值反映小数点的实际位置；
• 尾数的位数反映了浮点数的精度。

规格化

为了提高运算的精度，需要充分地利用尾数的有效数位，通常采取浮点数规格化的形式：规定尾数的最高数位必须是一个有效值。

• 左规：当运算结果的尾数的有效位最高位不为有效值时，需要进行左规——尾数每左移一位，阶码减 1。左规可能要进行多次；
• 右规：当运算结果的尾数的有效位进到小数点前面时（即尾数溢出），需要进行右规——尾数右移一位，阶码加 1。右规只需进行一次。

对基数为 2 的尾数：原码规格化后，正数为 $0.1\times\cdots\times$，负数为 $1.1\times\cdots\times$；补码规格化后，正数为 $0.1\times\cdots\times$，负数为 $1.0\times\cdots\times$（即符号位与最高数值位不同）。

IEEE 754 标准

IEEE 754 标准中，阶码用移码（偏置值为 $2^{n-1} - 1$，而不是一般移码的 $2^{n-1}$）表示，尾数用原码表示。规格化尾数的最高位总是 1，所以这一位不存储，而是隐含，因此尾数实际上有 24 位（单精度）。

十进制 → IEEE 754 的步骤（以 −0.75 为例）：

1. 转为二进制：$-0.75 = -0.11_2 = -1.1_2 \times 2^{-1}$；
2. 符号 $S = 1$；阶码 $E = -1 + 127 = 126 = 0111\,1110_2$；尾数 $M = 100\cdots0$（去掉隐含的 1）；
3. 拼接：$1\ 01111110\ 1000\cdots0$，即 BF40 0000H。

浮点数的加减运算

浮点数加减运算的过程比定点运算复杂，需要以下 5 个步骤：

1浮点数加减运算的步骤：
2① 对阶：小阶向大阶看齐，
3        小阶的尾数右移 ΔE 位
4② 尾数求和（减法：加上 −Y 的尾数）
5③ 规格化：
6    尾数双符号位 01/10 → 右规 1 位
7    符号位 = 最高数值位 → 左规
8④ 舍入：0 舍 1 入 / 恒置 1
9⑤ 溢出判断：
10    阶码 01 → 上溢；10 → 下溢（机器零）

C 语言中的浮点数类型转换

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