8.1 数值专题：C 程序中的整数与浮点数

第一步：写机器数。 x = 134 = 1000 0110B = 86H，y = 246 = 1111 0110B = F6H。int m = x 是同位长的有符号/无符号转换，机器数不变：m = 86H，n = F6H。

第二步：在位模式上运算（模 2⁸）。

(1) R1 = x = 86H，R5 = z1 = 90H，R6 = z2 = 7CH。

(2) m 的机器数 86H 按补码解释为 −128 + 6 = −122；k1 的机器数 90H 为 −128 + 16 = −112。

(3) 能。无符号数与补码的加减运算在位模式上完全相同（减法都是”加上减数的反码再加 1”），区别只在于对结果的解释以及判断溢出的方法（无符号看 CF，带符号看 OF），因此可以共用一个加法器，再配上不同的溢出判断电路。

(4) 用最高数值位的进位 $C_{n-1}$ 与符号位的进位 $C_n$ 的异或判断：$OF = C_n \oplus C_{n-1}$，为 1 表示溢出。带符号运算只有 k1、k2 两条：k1 为 −122 − (−10) 不溢出；k2 = 86H + F6H：两个负数相加得到正数 7CH（$C_n = 1$，$C_{n-1} = 0$，OF = 1），k2 溢出。

(1) n 是 unsigned，n − 1 = 0 − 1 按模 2³² 运算得 FFFFFFFFH = 2³² − 1，是 unsigned 能表示的最大值，i <= n - 1 恒成立，所以死循环。改为 int 后，n − 1 = −1，0 <= -1 不成立，不会死循环。

(2) 相等。f(23) = 2²⁴ − 1，即 24 个 1。f1(23) 的机器数为 00FFFFFFH。f2(23) = 1.111…1（小数点后 23 个 1）× 2²³，符号 0，阶码 23 + 127 = 150 = 1001 0110B，尾数为 23 个 1：0 10010110 111…1 = 4B7FFFFFH。24 位有效位恰好放得下，没有舍入。

(3) f(24) = 2²⁵ − 1 有 25 位有效位，而 float 只有 24 位，需要舍入。尾数全为 1，舍入时产生连锁进位，得到 $10.000\ldots0 \times 2^{24} = 2^{25}$，比精确值大 1。f1(24) 是 int 运算，精确。

(4) 2³² − 1 超出了 int 的范围 $[-2^{31}, 2^{31} - 1]$，机器数为 FFFFFFFFH，按补码解释为 −1。f1(n) = 2^(n+1) − 1 ≤ 2³¹ − 1 要求 n + 1 ≤ 31，最大 n = 30。

(5) 7F800000H：阶码全 1、尾数全 0，是 +∞。float 的最大值 $(2 - 2^{-23}) \times 2^{127} = 2^{128} - 2^{104}$；由 $2^{n+1} - 1 \le 2^{128} - 2^{104}$ 得 最大 n = 126。由 (2)(3) 可知结果精确的最大 n = 23。

规律：两个计算方法相同的函数，若结果相差很大，通常是表示范围小的类型发生了溢出；若结果只差一点，通常是浮点数的舍入误差。

(1) X = −11.25 = −1011.01B = −0.1011010 × 2⁴：阶码 4 = 0100，尾数 [−0.1011010]补 = 1.0100110，[X]浮 = 0100 1.0100110（= 4A6H）。

Y = −7.875 = −111.111B = −0.1111110 × 2³：阶码 0011，尾数 [−0.1111110]补 = 1.0000010，[Y]浮 = 0011 1.0000010（= 382H）。

(2) 64CH = 0110 0100 1100B，阶码 0110 = 6，尾数 0.1001100 = 0.59375，真值 = 0.59375 × 2⁶ = 38。

(3) 用双符号位计算。

结果 [X + Y]浮 = 0101 1.0110100，即 −0.1001100 × 2⁵ = −19（精确值为 −19.125，误差来自舍入）。